Stepenovanje i korenovanje

Stepen čiji je izložilac ceo broj :

(1)
\begin{align} $ a^1 = 1 , n \in N , a \in R $ \end{align}
(2)
\begin{align} $ a^0 = 1, a \not= 0 , n \in N $ \end{align}
(3)
\begin{align} $ a^n^+^1 = a^n \cdot a , \in N , a \in R $ \end{align}
(4)
\begin{align} $ a^-^n = {1 \over a^n} , a \not=0, a \in N $ \end{align}

Stepen čiji je izložilac racionalan broj ($n$ - ti koren broja):

Za $a \geq 0 , a \in R , n\in N$ , $n$-ti koren broja $a$ je nenegativno rešenje jednačine

(5)
\begin{align} $x^n = a$ i oznacavamo ga sa $\sqrt[n]{a}$ ili $a ^ {1 \over n}$ \end{align}

Za $a < 0 , a\in R , a\in N, n$-ti koren broja $a$ je rešenje jednačine

(6)
\begin{align} $x ^n = a $ i oznacavamo ga sa $ \sqrt [n]{a} $ ili $a ^ {1 \over n} $ \end{align}

Iz date definicije sledi :

(7)
\begin{align} \(\sqrt[n]{a})^n = \left\{ \begin{array}{l l} a & \quad \mbox{za $n$ neparno}\\ a & \quad \mbox{za $a>0$ i $n$ neparno}\\ \end{array} \right. \] \end{align}

Specijalan slučaj je:

(8)
\begin{align} \(\sqrt[n]{a})^n = |a| = \left\{ \begin{array}{l l} a & \quad \mbox{za $a \geq 0$ }\\ -a & \quad \mbox{za $a<0$ }\\ \end{array} \right. \] \end{align}

Pravila za računanje sa stepenima čiji je izložilac racionalan broj:

(9)
\begin{align} $ (-a)^n = (-1)^n \cdot a^n $ tj. \end{align}
(10)
\begin{align} (-a)^n = \left\{ \begin{array}{l l} $a^n$ & \quad \mbox{$n=2k$, za $a \in R, k \in N$ }\\ $-a^n$& \quad \mbox{ $n = 2k+1$, za $a \in R, k \in N$}\\ \end{array} \right \end{align}

Množenje stepena

(11)
\begin{align} a^n \cdot a^k = a{^n ^+ ^k} \end{align}

Deljenje stepena

(12)
\begin{align} $a^n : a^k = a^n ^- ^k$ odn. ${ a^n \over a^k}$ $= a^n^-^k$ \end{align}

Stepenovanje stepena

(13)
\begin{align} (a^n)^k = a^n^\cdot^k \end{align}

Stepenovanje proizvoda

(14)
\begin{align} (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \end{align}

Stepenovanje količnika

(15)
\begin{align} (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \end{align}

Korenovanje stepena

(16)
\begin{align} \sqrt [n]{a^k} = a^\frac{k}{n} \end{align}

Stepenovanje korena

(17)
\begin{align} (\sqrt [n]{a})^k = \sqrt [n]{a^k} \end{align}

Napomena

(18)
\begin{align} $(a+b)^n \not= a^n + b^n$ i $\sqrt{a+b} \not=\sqrt {a} + \sqrt {b}$ \end{align}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under GNU Free Documentation License.