Osnovne operacije sa iskazima

itc » Uvod u matematiku » Logika i skupovi : Osnovne operacije sa iskazima

Već znamo šta su algebarski izrazi i o njima će biti više reči kasnije. U aritmetici smo algebarske izraze gradili od

  • brojeva (dakle konstanti, ili bolje reći od simbola, kojima se označavaju brojevi), na primer $-1, 2, 0, 10$ ,
  • promenljivih (ili tzv. opštih brojeva), na primer $x,y,a,b$, i
  • aritmetičkih operacija, na primer $+,-,\cdot, :$ .

Pri izgradnji samih izraza smo kao pomoćno sredstvo koristili i zagrade, kao i odredjena pravila po kojima su se simboli u izrazu pisali. Tako recimo znamo da su $2$ ,$(7-3):2$ i $a \cdot (3+9x)$ izrazi, a da to nije slučaj sa sledećim nizovima simbola $x::+2(4)4)))$ i $2++x)y$. Takođe znamo da je $ab + c$ isto što i $(a\cdot b)+c$, a ne recimo $a\cdot (b+c)$.

Kada su izrazi međusobno dovedeni u neku vezu, dolazi se do nekog matematičkog tvrdjenja, što nas dalje vodi ka pojmovima iskaza i formule. Recimo $2+5$ je znakom jednakosti povezan sa izrazom $1+6$ tj. $2+5 = 1+6$. Takodje $x^2 - a^2 = (x -a)(x +a)$.

Iskaz

Pod iskazom se podrazumeva bilo koja rečenica za koju se zna da može biti samo tačna ili samo netačna . Drugim rečima iskaz je proizvoljna rečenica koja ima samo jednu istinosnu vrednost.

Primer Nije teško videti da će od navedenih rečenica:

  • " $1<2$ " (ili "Broj jedan je manji od dva")
  • " Kako se ti zoveš? "
  • " $2=4$"
  • " $x^2=4$"

prva i treća biti iskazi, i to prva tačan iskaz, a treća netačan, dok druga i četvrta rečenica nisu iskazi. Druga rečenica je upitna, i o njenoj istinitosti se ne može ni govoriti, dok je četvrta rečenica primer jedne matematičke formule koja nije iskaz. Naime istinosna vrednost te rečenice zavisi od toga koju vrednost ima promenljiva $x$, pa se u kontekstu vrednosti promenljive $x$ može govoriti o istinosnoj vrednosti samog izraza. Recimo da bi $x^2=4$, i pri tom $x \in {2}$ bio tačan iskaz, dok bi $x^2=4$, i pri tom $x \notin {2}$ bio netačan iskaz, tj istinitost zavisi od vrednosti koju ima promenljiva $x$. Sa druge strane, stavljajući konkretne vrednosti za $x$, tj. $x^2=4$ takodje se može govoriti o istinosnoj vrednosti izraza.

U prethodnom primeru navedeni su samo neki prosti, elementarni iskazi, koje ćemo po dogovoru označavati slovima $p, q, r$ itd. a sama slova nazivati iskaznim slovima. Polazeći od takvih elementarnih iskaza, dakle iskaznih slova, mogu se praviti složeni iskazi.
Pri izgradnji složenih iskaza, a to se čini pomoću tzv. logičkih veznika ili logičkih operacija, za nas će biti najvažnije da znamo kada će ti novi iskazi biti tačni ili netačni, u zavisnosti od toga da li su istinititi ili nisu njihovi sastavni delovi, iskazna slova.
U tom cilju uvodimo oznake $\top$ - za tačno ([čita se "te") i $\bot$- za netačno (čita se "ne-te"). Ovo su simboli za tzv. iskazne konstante i pojam istinosne vrednosti.

Istinosna vrednost nekog iskaza $p$, koju ćemo označiti sa $\tau (p)$, biće:

(1)
\begin{align} \tau (p) = \left\{ \begin{array}{l l} $\top$ & \quad \mbox{, ako je izraz tacan }\\ $\bot$& \quad \mbox{ ,ako je izraz netacan}\\ \end{array} \right \end{align}

Ovakav pristup omogućuje da se pomoću istinosnih tablica zadaju i pojedini logički veznici.

Iako je još od ranije poznato kako se u matematici, odnosno u prirodnim jezicima, upotrebljavaju neki veznici, ovde ćemo se zadržati na njihovim strožijim definicijama i nešto dubljoj analizi njihovog značenja.

Konjukcija

Konjukcija iskaza $p$ i $q$ je iskaz $p \wedge q$, kojem odgovara istinosna tablica

$p$ $q$ $p \wedge q$
$\top$ $\top$ $\top$
$\top$ $\bot$ $\bot$
$\bot$ $\top$ $\bot$
$\bot$ $\bot$ $\bot$

Ovde neposredno imamo sledeće karakteristično svojstvo konjukcije: iskaz $p \wedge q$ je tačan kada su oba iskaza $p$ i $q$ tačni, i samo u tom slučaju. U svim ostalim slučajevima je netačan.

Disjunkcija

Implikacija

Ekvivalencija

Negacija

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under GNU Free Documentation License.